Правильные многогранники интересные факты презентация. Презентация "правильные многогранники"
Cлайд 1
Cлайд 2
СИММЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ “Симметрия является той идеей, посредством которой человек пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство” (Г.Вейль) Симметрия («соразмерность») - соответствие, неизменность (инвариантность), проявляемая при каких-либо преобразованиях. Так, например, сферическая симметрия тела означает, что вид тела не изменится, если его вращать в пространстве на произвольные углы, сохраняя одну точку на месте. «Витрувианский человек» Ленардо Да Винчи (1490,Венеция)
Cлайд 3
СИММЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О (центр симметрии), если О – середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе. А А1
Cлайд 4
СИММЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой (ось симметрии), если прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе. А1
Cлайд 5
СИММЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Точки А и А1 называются симметричными относительно плоскости (плоскость симметрии), если эта плоскость проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку. Каждая точка плоскости считается симметричной самой себе
Cлайд 6
СИММЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет центр (ось, плоскость) симметрии, то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией
Cлайд 7
ПРИМЕРЫ СИММЕТРИИ ПЛОСКИХ ФИГУР Параллелограмм имеет только центральную симметрию. Его центр симметрии – точка пересечения диагоналей Равнобокая трапеция имеет только осевую симметрию. Её ось симметрии – перпендикуляр, проведенный через середины оснований трапеции Ромб имеет и центральную, и осевую симметрию. Его ось симметрии – любая из его диагоналей; центр симметрии – точка их пересечения
Cлайд 8
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ - 5 ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ Обитатели даже самой отдаленной галактики не могут играть в кости, имеющие форму неизвестного нам правильного выпуклого многогранника. М. Гарднер Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер. Также все ребра правильного многоугольника равны, как и все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром. Правильного многогранника, гранями которого являются n-угольники при n > или = 6, не существует!
Cлайд 9
ПРАВИЛЬНЫЙ ТЕТРАЭДЕР Составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине ровна 180°. Элементы симметрии: Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии. S полн Объем Высота Вершин – 4 Граней – 6 Ребер – 4
Cлайд 10
КУБ Составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине ровна 270°. 6 граней, 8 вершин и 12 ребер Элементы симметрии: Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей и плоскостей симметрии R опис. окр. S полн r впис. окр
Cлайд 11
ПРАВИЛЬНЫЙ ОКТАЭДР Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°. Элементы симметрии: Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии 8 граней 6 вершин 12 ребер
Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами (хотя известны они были задолго до Платона). Каждый из правильных многогранников, а всего их пять. Платон ассоциировал с четырьмя "земными" элементами: земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с "неземным" элементом - небом (додекаэдр).
Правильный многогранник, или Платоново тело это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией. Многогранник называется правильным, если: он выпуклый все его грани являются равными правильными многоугольниками в каждой его вершине сходится одинаковое число граней все его двухгранные углы равны
Отметим интересный факт, связанный с гексаэдром (кубом) и октаэдром. Куб имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин, а октаэдр – 8 граней, 12 ребер и 6 вершин. То есть число граней одного многогранника равно числу вершин другого и наоборот. Как говорят, куб и гексаэдр являются двойственными друг к другу. Это также проявляется в том, что если взять куб и построить многогранник с вершинами в центрах его граней, то, как несложно убедиться, получится октаэдр. Верно и обратное – центры граней октаэдра служат вершинами куба. В этом-то и состоит двойственность октаэдра и куба (рис). Несложно сообразить, что если взять центры граней правильного тетраэдра, то мы вновь получим правильный тетраэдр (рис). Таким образом, тетраэдр двойственен самому себе.
Знаменитый математик и астроном Кеплер построил модель Солнечной системы как ряд последовательно вписанных и описанных правильных многогранников и сфер. Каков же порядок расположении планет (в соответствии с "требованиями" правильных многогранников) получился у Кеплера? В сферу орбиты Сатурна был вписан куб, в него - сфера орбиты Юпитера; в эту сферу вписался тетраэдр, в него - сфера орбиты Марса; далее: додекаэдр - сфера орбиты Земли - икосаэдр - сфера орбиты Венеры - октаэдр - сфера орбиты Меркурия.
Многогранник поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающих некоторое геометрическое тело. Многогранники бывают выпуклыми и не выпуклыми многоугольников Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого многоугольника на его поверхности
Октаэдр Окта́эдр (греч. οκτάεδρον, от греч. οκτώ, «восемь» и греч.έδρα «основание») один из пяти выпуклых правильных многогранников, так называемых Платоновых тел.греч. правильных многогранников Платоновых Октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.
Икосаэдр Икоса́эдр (от греч. εικοσάς двадцать; -εδρον грань, лицо, основание) правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм.греч.Платоновых телтреугольникзвёздчатых форм
Додекаэдр Додека́эдр (от греч. δώδεκα двенадцать и εδρον грань),двенадцатигранник правильный многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.греч.правильный многогранник правильных пятиугольников вершина Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра). Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°.углов
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.
Правильные многогранники
Сколько существует правильных многогранников? - Как они определяются, какими свойствами обладают? -Где встречаются, имеют ли практическое применение?
Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.
«эдра» - грань «тетра» - четыре гекса» - шесть «окта» - восемь «додека» - двенадцать «икоса» - двадцать Названия этих многогранников пришли из Древней Греции и в них указано число граней.
Название правильного многогранника Вид грани Число вершин ребер граней граней, сходящихся в одной вершине Тетраэдр Правильный треугольник 4 6 4 3 Октаэдр Правильный треугольник 6 12 8 4 Икосаэдр Правильный треугольник 12 30 20 5 Куб (гексаэдр) Квадрат 8 12 6 3 Додекаэдр Правильный пятиугольник 20 30 12 3 Данные о правильных многогранниках
Вопрос (проблема): Сколько существует правильных многогранников? Как установить их количество?
α n = (180 °(n -2)) : n При каждой вершине многогранника не меньше трех плоских углов, и их сумма должна быть меньше 360 ° . Форма граней Количество граней при одной вершине Сумма плоских углов при вершине многогранника Вывод о существовании многогранника α = 3 α = 4 α = 5 α = 6 α = 3 α = 4 α = 3 α = 4 α = 3
Л. Кэрролл
Великие математики древности Архимед Евклид Пифагор
Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий ученый Платон. Именно поэтому правильные многогранники называются тела Платона
тетраэдр - огонь куб - земля октаэдр - воздух икосаэдр - вода додекаэдр - вселенная
Многогранники в науках о космосе и земле
Иоганн Кеплер (1571-1630) – немецкий астроном и математик. Один из создателей современной астрономии - открыл законы движения планет (законы Кеплера)
кубок Кеплера Космический
" Экосаэдро - додекаэдровая структура Земли "
Многогранники в искусстве и архитектуре
Альбрехт Дюрер (1471-1528) «Меланхолия»
Сальвадор Дали «Тайная Вечеря»
Современные архитектурные сооружения в виде многогранников
Александрийский маяк
Кирпичный многогранник швейцарского архитектора
Современное здание в Англии
Многогранники в природе ФЕОДАРИЯ
Пирит (сернистый колчедан) Монокристалл алюмокалиевых квасцов Кристаллы красной медной руды ПРИРОДНЫЕ КРИСТАЛЛЫ
Поваренная соль состоит из кристаллов в форме куба Минерал сильвин также имеет кристаллическую решетку в форме куба. Молекулы воды имеют форму тетраэдра. Минерал куприт образует кристаллы в форме октаэдров. Кристаллы пирита имеют форму додекаэдра
Алмаз В форме октаэдра кристаллизуются алмаз, хлорид натрия, флюорит, оливин и другие вещества.
Исторически первой формой огранки, появившейся в XIV веке стал октаэдр. Алмаз Шах Масса алмаза 88,7 карата
Задача Английская королева дала указание сделать огранку вдоль ребер алмаза золотой нитью. Но огранка не была сделана, так как ювелир не сумел рассчитать максимальную длину золотой нити, а сам алмаз ему не показали. Ювелиру были сообщены следующие данные: число вершин В=54, число граней Г=48, длина наибольшего ребра L= 4мм. Найти максимальную длину золотой нити.
Правильный многогранник Число Граней Вершин Рёбер Тетраэдр 4 4 6 Куб 6 8 12 Октаэдр 8 6 12 Додекаэдр 12 20 30 Икосаэдр 20 12 30 Исследовательская работа «Формула Эйлера»
Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника В + Г - 2 = Р где В – число вершин, Г – число граней, Р – число ребер этого многогранника.
ФИЗМИНУТКА!
Задача Найдите угол между двумя ребрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани.
Задача Найти высоту правильного тетраэдра с ребром 12 см.
Кристалл имеет форму октаэдра, состоящего из двух правильных пирамид с общим основанием, ребро основания пирамиды 6 см. высота октаэдра 8 см. Найдите площадь боковой поверхности кристалла
Площадь поверхности Тетраэдр Икосаэдр Додекаэдр Гексаэдр Октаэдр
Задание на дом: mnogogranniki.ru Пользуясь развертками изготовить модели 1-го правильного многогранника со стороной 15 см, 1-го полуправильного многогранника
Спасибо за работу!
